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保持正常心态,不当“压轴”是回事,定会豁然开朗:原来如此!

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

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中考数学压轴题,无非比通常中档试题多综合了知识点,或者说是综合了三两道中档题,或者说在图形(象)中多综合了一些点与线(只会吓死“胆小”的),或者说计算上多了个字母系数(俗称含参——高大上)——只是式的运算而已,或者说多了些整体、数形思想等综合而已……,然而这些内容不就是天天接触吗至于动态问题,就更清楚明了了,将已知的数用“字母”代替就成了含参,就成了动态问题。没错,静态时该怎么想的还是怎么想?顶多是换个位置而已,这就是“令人生畏”的、“动中有静”的“高难”压轴题,岂不知:这些“令人讨厌”的难题,其本质正是:不论在哪一个瞬间(甚至是极限)总还是“静”的,都是静的图(或图象).由此看来,压轴题实际上是“美帝”纸老虎,不可怕,若一定要说可怕,那是:你的思想太“顽固”、太“僵化”、太瞧不起自己(反正我做不来,连多看一眼都不敢),还没开始解压轴题就给自己定个“死罪”,根本没信心和勇气去“动”、去“碰”?更谈不上冷静下来认真思考了?好好反思一下:为何听老师讲解听的懂,自己解答时好像那儿都不对劲?之前你有没真正花时间认真思考过?有没真正动起笔来画画图?有没真正当回事来对待?有没思考在什么“坎”上让你中招?这些“坎”是平时掌握了吗?……

笔者至今担任过24年的毕业班教学,曾多次做过这样的实验:将倒一二的试题故意放在倒三和倒四的位置,结果:居然原来的倒三、四反而做不好,甚至出现空白,原来的倒一倒二还出奇地完成的相当不错。

因此良好的心态是解决压轴题的关键,而良好的心态取决于答题信心,满满的信心在解题中必能从容面对,势如破竹,信心就会源源不断.

非常时期,中考在即,但愿笔者的以下几点建议,能给你带去“运气”,带去祝福,重失信心,在不寻常的“时空”里能发挥你的真正潜力和水平。

一、逐字逐句,细致读题,用图记录“瞬间”

逐字逐句,细致读题,结合图形(必要时自己画图),适时思考:字里行间告诉我们什么?由此又能想到了什么?用数学语言或“图(象)”形式赶紧记录下这些精彩“瞬间”,这些恰恰就是“真经”,就是“救命稻草”,就是“法宝”啊,万万不可大意当“儿戏”哦!务必注意:慢咬细嚼,不可快速读完,更不能把整题读完(为何要把“明天”的烦恼提前到“今天”?这可是自己为难自己哦!

二、缜密思考,大胆联想,切记“不忘初心”——基本“元素”

利用你的“记录”,放下包袱,放开思路,缜密思考,大胆联想,甚至浮想联翩。同时切不可忘了图中的基本“元素”——点、线、形,这些基本“元素”让你联想到哪些基本图形、基本结论、基本思路和方法技巧(辅助线)?然后再把你所得到的结论标注在图形中,或者用笔将之记录下来.

如:你已画了一个三角形,此时可做如下思考:这个三角形是特殊的三角形吗?特殊在哪?这个三角形已有什么条件?能从这些条件得到什么结论(赶紧标注上)?这些条件能影响三角形的什么元素?这个三角形是确定的吗?即这个三角形是否可解(能具体求解出什么结论)?这个图形在什么样的背景下?这个三角形是静的,还是动的?如果是动的,特殊情况下又是如何?在这个图形中,你能想到哪些定理?由这些定理你能得到什么结论?如果添加一条或几条线,通过相关组合,你能发现哪些最常见的基本图形?从这些基本图形中你又能得到什么最基本且重要的结论?……(放心,总会有你所能想到的?也许不全面甚至很少,但定会在后续的解题中用的上,即便还是没有思路,你将这些结论写上,也可得到一定的分数。其实:你之所以没能解决,仅是因为某一点或结论还没想到而已.这一点非常有效且实用,也许你在不知不觉中已经解决了第(1)(2)小题.其实很多同学不敢“碰”压轴题的最大原因也正缘于此.记住:即便是乱想,甚至空想,也定有收获.

三、贯穿主线,疏理头绪,力求“知己知彼“

“知己知彼”:将已知与未知,结合图形进行多向联系:如图形上位置、数量的联系、与特殊的点(角)、线、形进行联系(如有无特殊角),尤其也特殊的基本图形(定理的原形图)的联系,若有困难,也可大胆猜想,甚至可以借助三角板和刻度尺进行特殊化和度量操作等,以此来帮助思考.

利用已画的图形和现有的结论,对照“主线“,疏理头绪.如:眼前的这个图形是否似曾相识?图中有无常见的基本图形和基本结论可用?此类图形或问题,平时老师都常说哪些语言?平时训练时遇到此类问题是如何解决?有哪些办法可以打开思路?正如前面所说的,放开心怀,总有你能联想到的?哪怕只是那么一点?都不可放过,太多奇迹就是这么产生的?往往在你的这些联想中,问题已经解决过半,甚至完全迎刃而解.即便还是没有头绪,还请你放心,你不会做无用功的,你将之最有用的结论写在试卷中,相信也定会得到一定的分数,因为你只是没有完全想到,就“差那么一点”没想到而已,同样可以得高分,何乐而不为? 

四、心中有图,处处有路,毋忘基本图形

心中无图,望“图“生畏,看不到”图“的本质,画不出或不敢画符合条件的图,尤其是所谓的”动图“和“无图”题,是解决压轴题路上的最大”拦路虎“,显然”图“是解决压轴题的“万能钥匙”,只有准确画出符合条件的图,问题才能轻松破解.

实际上,在”画出符合条件的图“的过程中,本身就蕴含着对大量的知识内容和解题思路方法的回忆,对解题会产生无限的联想,尤其是重要基本图形的一些重要结论会不断浮现,对减轻问题的难度有着至关重要的作用,可以说:能真正地画(作)了图就离”问题解决“不远了。

因此,对一些常见的基本图形应有本质的认识,真正理解“图“.除了平时对”图“的理解积累了的一些经验外,更有必要对”图“的复习进行归纳、训练、强化,特别强化”动图“与”静图“的区别和联系,体会”动中有静“的动态思想,努力做到:心中有图,处处有路,永远记住:路在图中,有图有真相,真相就在图中.

所谓五花八门的模型套路,无非是基本图形的动态变化(或变换后)而成的各个侧面的“动中有静”的图,套路再多,本质都一样。与其花费大量的时间浪费在记忆模型套路上,倒不如认认真真多花些时间将基本图形理解透彻,到时自然心中就会有无数属于你的套路.

试试这么做:

(一)玩玩“三角板“

(后面有专门叙述,这里略去)

(二)动笔画画图(象)

1.将老师最经常强调的图(象)及对应的辅助线,在不同的位置或背景下(如在网格中,在坐标系中,在抛物线中等)再画画,再动脑大胆思考,相信你定有不一样的感觉,定有不一样的收获.

2.将做过的压轴题的图(或无图)重新画画,再次感受“压轴题”的那丁点“微妙”,也许突然间你就会豁然开朗.

3.在画图(象)中再次充分感受基本图形的“魅力”:找出题中直接决定解题成功的关键的基本图形——点、线、形,回忆一下当初该试题是因图(象)中的哪些因素影响你的解题思路或“造就”你的解题成功.

4.在画图中,充分体会图(象)的形成过程,体会“构图”原理,并充分利用“联想回忆”得出解题思路.敢于联想、善于联想是解决问题的关键,如:在图中画出了一条线段,则可立即思考这条线段对本题起什么作用?有了这条线段题中又多了哪些可用结论?这条线段与其他线段(或图形)又会产生如何联系?又有哪些定理可用?……

5.画完图,并能尽量以动态(平移、对称、旋转及位似等)的“眼光”再次“善待”和“亲近”这些已经熟悉的图形.对于特殊重要的基本图形,需“随时随地随处“进行“画、作图”训练,这样定会让你的解题水平达到另一种境界:心中有图,处处有路.

(三)看看坐标系,想想网格,随手思考矩形、菱形和正方形

1.网格中的相关试题若换成坐标系背景下,在正方形、矩形、菱形的背景下的试题也换成坐标系或网格的背景呢?

2.坐标系背景下的试题换成正方形、矩形或网格背景呢?

3.(上述问题)若分别在不同背景下,有何联系与区别?如何进行联系?

(下面是之前发布的文章的部分)

例如:“平行线分线段成比例定理“中的一个推论中的基本图形(下图示,其中DE∥BC),这个图形本人多次讲座分析,《顶尖中考微专题》也有专门的篇幅说明.下面我从各个角度来理解一下这个图形.

稍作变化(如对称),得到如下的变形图形(仍然保持△ADE与△ABC相似.

从平移和旋转角度解读:

(1)

(2)继续将第二个图平移到特殊位置,

此时,从圆的相关知识联系解读,有AB是△BDE,或AE是△BDE的外接圆的切线

(2)将三角形特殊化(如∠ABC=90°),则有:


又得到非常重要的基本图形——直角三角形斜边上的高.

(3)再将△ADE的点D在任意一条确定的直线FG上运动,保持∠DAE=∠BAC,∠ADE=∠B(或AD/AE=AB/AC),即△ADE∽△ABC.则又可得到:


此时又可得到另一对相似(仅给第一个图,其他图形类似),如下图中的两阴影部分三角形:

此时随着D点在线段EF(或直线EF)上运动,相应的点E也在一定直线上运动,可解决相关路径和最值相关的问题(如求BE的长的最小值).

提示:可得到△AB

(3)如果继续脱离△ABC的直接影响,将△ADE在任意平移保持∠CAE不变(如cos∠DAE=2/3),且AD:AE=定值(如3/4),如下图示:

同样有上述相关结论.思路:找到原始状态下的基本图形(即为辅助线)或构造一个特殊情况下的基本图形,或者类似于上述图形中的△ABC均可(方法多种,本质一样),如下图示:

(4)如果即脱离△ABC的直接影响,也让D点在任意确定的线、弧、函数图象上运动——类似于一个自由三角形ADE在保持本质不变(即任何位置均保持互相相似)情况下,将其在任意平移,同样还有上述结论:如下图示:

构造特殊情况下的基本图形——“哪里哪里去“,方法多种.

(5)在(4)的△ADE满足的条件下,若将此自由△ADE放在圆弧上运动,显然又可得到“旋转相似“相关的结论(如路径、最值问题).如下图示:其中△MNP为任意已知三角形.


提示:构造特殊情况下的基本图形——“哪里哪里去“,当然与圆心有密切联系,因此需围绕圆心构造特殊基本图形,方法多种.

(6)再将“派生“出的基本图形放在圆的背景下


若让点D在圆上运动,在保持△ADE与△ACD相似的情况下,不难得到AE:AD=AD:AC.利用这个结论,又可任意构造类似“加权最值“的相关问题.如下图示


可求“DM+m/n×DC“的最值.

解题思路:构造基本图形.如下图示:


五、活用道具,动手操作,请珍惜“三角板”

珍惜无怨无悔伴你左右、不离不弃的那一副“三角板”,请花时间多亲密接触,逗它玩玩.

1.摆一摆,算一算:可得到哪些“准特殊角”,你能求出这些特殊角(或它的余角或补角的三角函数值吗?如果附上相关边的条件,你能求出其余相关的元素或结论吗?再或你能解出与之相关的三角形吗?

2.移一移,转一转:先将两个三角形以任何形式叠放,再移一移、转一转可得到哪些熟悉且常见的图形吗?这些熟悉的图形中蕴藏着哪些常用解题思路或辅助线?离开三角板,你能快速画出相应的图形吗?

3.“折一折”,试一试:利用三角板在纸张(或试题卷)上画一个三角形,再往不同位置折一折;继续将三角形画出其他图形的背景下(如正方形、矩形)再折出不同位置的图形,感受一下折前折后的图形,再试试看你能解决哪些问题?

4.放一放,想一想:把三角板放置在你正在训练的实际压轴试题中,再次感受一下“三角板”给你带来的“灵感”,如:30°的角会让你产生哪些联想?

5.变一变,画一画:将三角板的某个边变短些或变长些,得到的是含特殊角的三角形,你又能有哪些联想?如:若45°的角的边长短发生变化,则解题思路仍然是“构造等腰直角三角形”——万变不离其宗.

对所有的压轴题,你都可以利用手中的三角板通过摆放,找到感觉,不信再试试看,相信定会有无数的联想和感触!

此外,以下细节,你随意错过了吗?

(1)不放过任何蛛丝马迹.试题(含图形)中的条件(特别是隐藏条件)是否忽略了,是否没考虑完整?任何“蛛丝马迹”倘若没有“处理”好,往往会阻碍你进一步的思考,也正是你尚未解决好问题的最大原因;

(2)“多留一个心眼”.多角度思考问题(还能这样吗?换一个位置能否满足条件,可以吗?),良好的解题习惯,会帮助你避开漏答或多答;

(3)换“位”思考:如前面叙述,把压轴题当作中等题,不就是一道通常的中等题吗?

(4)心理镇定:随时给自己心理暗示,你做不来其他高手也同样做不来,何况你还能完成一部分的解答,分数已经高于他人之上,接下来能思考出多少都是“净赚”!其实这也不是心理暗示,事实上就是如此:命卷老师“坏“的很,总想尽办法,不想让人得高分!

(5)完美答好前面试题(答好必得分数).似乎这不是压轴题中的内容,但需谨记:没有前面试题的完美解答,就不会有“全身心”投入到压轴题中,那时无法静下心态,何谈信心?一切皆空.

胆大心细,重在平时训练中,在训练中达到潜移默化,养成良好的“答题习惯”!

写在最后

在各种考试与训练中,哪怕只剩下几秒钟,也要对压轴题“多看一眼”、“再看一眼”!切忌遇到压轴题先给自己“判死刑”.永远记住:什么困难都不会比“自己不相信自己“难,成功来自于自己的信心,有了信心什么问题都不是问题!

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